Bilangan Kompleks Matematika Teknik 1
BAB V. BILANGAN KOMPLEKS
5.1 Pendahuluan
Bab ini mencakup sub-sub bahasan yang meninjau definisi bilangan
kompleks, operasional aritmetika dasar bilangan kompleks, identitas Euler, dan
bentuk eksponensial dan polar dari bilangan kompleks. Pertama-tama kita akan
berkenalan dengan konsep bilangan kompleks.
5.2 Penyajian
1 | Bilangan Kompleks
Latihan atau pelajaran matematika yang pertama kali kita jumpai
umumnya akan secara eksklusif berhubungan dengan bilangan atau angka-angka
riil, seperti misalnya 4, –
7
2 , dan μ. Meskipun demikian, kita akan segera
menemukan adanya persamaan-persamaan semacam x2 = -3 yang tidak dapat
dipenuhi oleh setiap bilangan riil yang kita kenal. Persamaan-persamaan semacam
ini hanya akan dapat diselesaikan melalui pengenalan konsep satuan imajiner atau
operator imajiner, yang akan kita simbolkan dengan huruf j. Berdasarkan definisi,
j2 = -1, sehingga j = 1 , j3 = -1, j4 = 1, dan seterusnya. Perkalian antara sebuah
bilangan riil dengan sebuah bilangan imajiner disebut sebagai bilangan imajiner,
dan jumlah dari sebuah bilangan riil dan sebuah bilangan imajiner disebut sebagai
bilangan kompleks. Jadi, sebuah bilangan yang memiliki bentuk a + jb, dimana a
dan b adalah bilangan-bilangan riil, merupakan sebuah bilangan kompleks.
Kita akan menyatakan sebuah bilangan kompleks dengan simbol khusus,
misalnya, A = a + jb. Sifat kompleks bilangan diindikasikan dengan penggunaan
huruf tebal (untuk ketikan) atau huruf dengan tanda garis di atasnya (untuk tulisan
tangan). Bilangan kompleks A baru saja kita tunjukkan digambarkan sebagai
memiliki sebuah komponen riil a dan sebuah komponen imajiner b. Bilangan
kompleks ini dapat juga dinyatakan sebagai :
Re{A} = a Im{A} = b.
130
Komponen imajiner A bukanlah jb. Berdasarkan definisi, komponen imajiner
merupakan sebuah bilangan riil.
Perlu diperhatikan bahwa semua bilangan riil dapat dipandang sebagai
bilangan kompleks yang memiliki komponen imajiner nol. Bilangan riil oleh
karenanya termasuk sistem bilangan kompleks, dan kita sekarang dapat
meninjaunya sebagai sebuah kasus khusus. Pada saat kita mendefinisikan operasioperasi
aritmatika dasar untuk bilangan kompleks, berdasarkan definisinya kita
dapat mereduksinya menjadi suatu bilangan riil jika komponen imajiner dari
bilangan kompleks ini diset nol.
Karena setiap bilangan kompleks dicirikan secara lengkap oleh sepasang
bilangan riil, seperti a dan b dalam contoh kita sebelumnya, maka kita dapat
memperoleh sedikit bantuan visual dengan mempresentasikan sebuah bilangan
kompleks secara grafis pada sistem koordinat rektangular atau Cartesian. Dengan
menggambarkan sebuah sumbu riil dan sumbu imajiner, seperti yang tampak pada
Gambar 5.1, kita dapat membentuk sebuah bidang kompleks, atau diagram
Argand, di mana di atas suatu bidang atau diagram setiap bilangan kompleks
dapat direpresentasikan sebagai sebuah titik. Sebagai contoh, dalam Gambar 5.1
ini diperlihatkan titik-titik yang merepresentasikan bilangan kompleks M = 3 + j1
dan N = 2 – j2. Kita harus memahami bahwa bidang kompleks ini hanya
merupakan bantuan visual semata. Pernyataan matematikanyalah yang paling
esensial.
Gambar 5.1
Bilangan kompleks M = 3 + j1 dan N = 2 – j2 yang digambarkan pada sebuah bilangan kompleks.
131
Kita akan mendefinisikan dua buah bilangan kompleks sebagai bilangan
kompleks yang sama jika dan hanya jika komponen-komponen riil dan
imajinernya sama. Dengan demikian, setiap titik pada bidang kompleks secara
grafis berkorespondensi dengan tepat satu bilangan kompleks, dan sebaliknya pun
berlaku: setiap bilangan kompleks akan berkorespondensi dengan tepat satu buah
titik di bidang kompleks. Jadi, bila diberikan dua buah bilangan kompleks:
A = a + jb dan B = c + jd
Sehingga jika
A = B
Sebuah bilangan komplek yang dinyatakan sebagai jumlah dari sebuah bilangan
riil dan sebuah bilangan imajiner, misalnya A = a + jb, disebut sebagai bentuk
rektangular atau kartesian. Bentuk bilangan kompleks yang lain akan segera kita
perkenalkan nantinya.
Sekarang marilah kita definisikan dasar-dasar operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan-bilangan kompleks. Jumlah dari
dua buah bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan kompleks yang
komeponen riilnya merupakan jumlah dari komponen-komponen riil dari kedua
bilangan kompleks dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah dari
komonen-komponen imajiner kedua buah bilangan kompleks.
Jadi,
(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Sebagai contoh,
(3 + j4) + (4 – j2) = 7 +j2
Selisih dua buah bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan cara yang serupa
dengan cara pendefinisian jumlah dua bilangan kompleks di atas. Sebagai contoh,
(3 + j4) – (4 – j2) = -1 +j6
Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks juga dapat dilakukan secara
grafis pada bidang kompleks. Setiap bilangan kompleks dapat direpresentasikan
sebagai vektor, atau segmen garis berarah, dan jumlahnya dapat diperoleh dengan
melengkapi parallelogramnya, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 5.2a,
atau dengan menghubungkan vektor-vektornya seperti tampak dalam Gambar
132
5.2b. Sketsa grafis kadangkala berguna dalam pemeriksaan solusi numerik yang
lebih eksak.
(a) (b)
(a) Jumlah dari dua buah bilangan kompleks M = 3 + j1 dan N = 2 – j2 diperoleh dengan
mengkonstruksi sebuah paralelogram (b) Jumlah dari dua buah bilangan kompleks yang sama
yang diperoleh dengan menghubungkab vektor-vektornya.
Perkalian dua buah bilangan kompleks didefinisikan sebagai,
(a + jb) + (c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)
Hasil ini dapat dengan mudah diperoleh dengan melakukan perkalian langsung
kedua suku binomial, menggunakan aturan-aturan aljabar bilangan riil, dan
kemudian menyederhanakan hasilnya dengan menggunakan definisi bahwa
j2 = -1. Sebagai contoh,
(3 + j4)(4 – j2) = 12 – j6 + j16 – 8j2
= 12 + j10 + 8
= 20 + j10
Perkalian bilangan kompleks lebih mudah dilakukan dengan metode di atas ini,
khususnya jika dengan segera menggantikan j2 dengan -1, alih-alih melakukan
subtitusi ke dalam formula umum yang mendefinisikan perkalian bilangan
kompleks.
Berikutnya, sebelum mendefinisikan operasi pembagian bilangan
kompleks, kita akan mendefinisikan konjugat bilangan kompleks terlebih dahulu.
Konjugat bilangan kompleks A = a + jb adalah a – jb yang direpresentasikan
sebagai A*. Konjugat dari suatu bilangan kompleks oleh karenanya dapat dengan
mudah diperoleh dengan mengubah tanda dari komponen imajinernya.
133
Jadi, jika
A = 5 + j3
maka
A* = 6 + j3
Jelas bahwa konjugat dari suatu pernyataan kompleks yang rumit dapat dicari
dengan mengganti setiap suku-suku yang rumit dalam pernyataan tersebut dengan
konjugatnya yang dapat diperoleh dengan mengganti setiap j dengan –j.
Definisi-definisi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan
kompleks di atas memperlihatkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar
: jumlah dari sebuah bilangan kompleks dan konjugatnya adalah sebuah bilangan
riil; selisih dari sebuah bilangan kompleks dan konjugatnya adalah sebuah
bilangan imajiner; dan perkalian dari sebuah bilangan kompleks dengan
konjugatnya adalah sebuah bialangan riil. Juga jelas bahwa jika A* adalah
konjugat dari A, maka A adalah konjugat dari A*; dengan kata lain A = (A*)*.
Sebuah bilangan kompleks dan konjugatnya akan membentuk sebuah bilangan
yang disebut sebagai pasangan kompleks konjugat.
Sekarang kita dapat mendefinisikan hasil bagi dari dua buah bilangan
kompleks sebagai,
( )( *)
( )( *)
B B
A B
B
A
dan oleh karenanya,
2 2
( ) ( )
c d
ac bd j bc ad
c jd
a jb
Kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat dari penyebut agar
kita dapat memperoleh penyebut yang berupa bilangan riil. Proses ini diistilahkan
sebagai rasionalisasi penyebut. Sebagai contoh numerik, perhatikan pembagian
bilangan-bilangan kompleks berikut ini :
4 2
3 4
j
j
(4 2)(4 2)
(3 4)(4 2)
j j
j j
16 4
4 22
j = 0,2 + j1,1
134
Penjumlahan atau pengurangan dua buah bilangan kompleks yang dinyatakan
dalam bentuk rektangular merupakan matematika yang relatif mudah dan
sederhana. Di lain pihak, perkalian ataupun pembagian dua buah bilangan
kompleks dalam bentuk rektangular merupakan proses yang relatif agak rumit dan
panjang. Kedua operasi matematika terakhir ini akan menjadi jauh lebih mudah
dan sederhana jika bilangan kompleksnya diberikan dalam bentuk eksponensial
ataupun polar. Bentuk-bentuk ini akan diperkenalkan pada sub-bagian 3 dan 4.
2 | Identitas Euler
Dalam bab-bab selanjutnya kita menemukan fungsi-fungsi terhadap waktu
yang mengandung bilangan kompleks, dan kita berkepentingan terhadap
diferensiasi dan integrasi dari fungsi-fungsi ini terhadap variabel riil t. Kita akan
mendiferensiasikan dan mengintegrasikan fungsi-fungsi semacam ini terhadap t
dengan prosedur yang tepat sama dengan prosedur yang kita gunakan untuk
fungsi-fungsi riil terhadap waktu. Jadi dalam melakukan proses diferensiasi atau
integrasi, konstanta kompleks akan diperlakukan sebagaimana halnya sebuah
konstanta riil. Jika f(t) adalah sebuah fungsi kompleks terhadap waktu, misalnya
f(t) = a cos ct + jb sin ct
maka
ac ct jbc ct
dt
df (t) sin cos
dan
f ct C
c
ct j b
c
(t)dt a sin cos
dimana konstanta integrasi C umumnya merupakan sebuah bilangan kompleks.
Kadangkala dalam beberapa kesempatan kita perlu mendiferensiasikan
atau mengintegrasikan sebuah fungsi dengan variabel kompleksnya. Pada
umumnya, agar operasi diferensiasi atau integrasi dapat dilakukan, syaratnya
adalah harus dipenuhinya beberapa kondisi tertentu bagi fungsi-fungsi yang akan
dideferensiasi atau diintegrasikan. Keempat buah fungsi kita adalah memenuhi
kondisi-kondisi yang dipersyaratkan ini, dan proses integrasi dan diferensiasi
135
terhadap suatu variabel kompleks dapat dicapai dengan menggunakan metode
yang identik dengan metode yang digunakan untuk variabel-variabel riil.
Saat ini kita harus menggunakan relasi dasar yang sangat penting yang
dikenal sebagai identitas Euler (dilafalkan sebagai “oiler”). Kita akan
membuktikan identitas ini karena identitas sangat bermanfaat dalam
merepresentasikan sebuah bilangan kompleks dalam bentuk yang berbeda dari
bentuk rektangular.
Pembuktiannya didasarkan pada ekspansi deret pangkat cos , sin , dan
ez , (biasanya diberikan pada sampul bagian belakang buku kalkulus untuk
universitas) yaitu:
cos = …
2! 4! 6!
1
2 4 6
sin …
3! 5! 7!
3 5 7
atau
…
2! 3! 4! 5!
cos sin 1
2 3 4 5
j j j
dan
…
2! 3! 4! 5!
1
2 3 4 5
ez z z z z z
sehingga
…
2! 3! 4!
1
2 3 4
e j j j
Dan kita simpulkan bahwa,
e j cos j sin [1]
atau, jika kita biarkan z j , maka akan kita peroleh,
e j cos j sin [2]
Dengan menjumlahkan dan mengurangkan Persamaan [1] dan [2] kita
akan mendapatkan dua buah pernyataan yang kita gunakan tanpa proses
pembuktian dalam kajian kita sebelumnya mengenai tanggapan alami kurang
terendam dari suatu rangkaian RLC seri yaitu,
136
( )
2
cos 1 e j e j [3]
( )
2
sin j 1 e j e j [4]
3 | Bentuk Eksponensial
Marilah kita lihat kembali identitas Euler
e j cos j sin
Dengan mengalikan masing-masing sisi persamaan dengan bilangan positif C
akan kita peroleh,
Ce j Ccos jCsin [5]
Sisi kanan persamaan [5] merupakan penjumlahan sebuah bilangan riil dan sebuah
bilangan imajiner dan oleh karenanya adalah merepresentasikan sebuah bilangan
kompleks dalam bentuk rectangular. Marilah kita sebut bilangan kompleks ini
sebagai A, dimana A = a + jb. Dengan menyamakan komponen-komponen riilnya
diperoleh,
a Ccos [6]
dan dengan menyamakan komponen-komponen imajinernya akan diperoleh,
b Ccos [7]
Selanjutnya dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan persamaan-persamaan
[6] dan [7] akan diperoleh,
a2 b2 C2
atau
C a2 b2 [8]
dan dengan membagi persamaan [7] dengan persamaan [6] akan didapatkan,
tan
a
b
atau
a
tan1 b [9]
137
Kita mendapatkan relasi persamaan [8] dan [9], yang memungkinkan kita untuk
menentukan nilai C dan dari nilai a dan b yang diketahui. Sebagai
contoh, jika A = 4 + j2 maka kita identifikasikan a sebagai 4 dan b sebagai 2 dan
kita cari C dan sebagai,
C 42 22 4,47
26,6
4
tan1 2
Kita dapat menggunakan informasi ini untuk menuliskan A dalam bentuk,
A 4,47cos26,6 j4,47sin 26,6
Namun demikian bentuk pernyataan di sisi kiri persamaan [5]-lah yang
sesungguhnya lebih penting untuk kita ketahui yaitu,
A Ce j 4,47e j26,6
Sebuah bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk ini, dikatakan memiliki
bentuk eksponensial. Faktor pengali, berupa bilangan riil positif C, dikenal
sebagai amplitudo atau magnitudo, dan kuantitas riil yang muncul dalam
eksponen disebut sebagai argumen atau sudut. Seorang matematikawan akan
selalu menyatakan dalam satuan radian dan menuliskannya sebagai,
A 4,47e j 0,464
Di lain pihak, seorang insinyur umumnya menyatakan dalam satuan derajat.
Penggunaan symbol derajat ( ) dalam eksponen berpotensi menimbulkan
kebingungan.
Sebagai rekapitulasinya, jika kita memiliki sebuah bilangan kompleks
yang diberikan dalam bentuk rektangular
A = a + jb
dan berkeinginan untuk menyatakannya dalam bentuk eksponensial,
A Ce j
maka kita dapat mencari C dan dengan menggunakan persamaan [8] dan [9].
Sebaliknya, jika yang diberikan adalah bilangan kompleks dalam bentuk
eksponensial maka kita dapat mencari nilai a dan b melalui penggunaan
persamaan [6] dan [7].
138
Apabila A dinyatakan dalam bentuk nilai-nilai numerik, transformasi
antara bentuk eksponensial (atau polar) dan bentuk rektangular dapat dilakukan
oleh hampir semua kalkulator ilmiah.
Satu pertanyaan akan muncul dalam upaya kita menentukan sudut
dengan relasi arctangen persamaan [9] ini. Fungsi ini bersifat multinilai, dan suatu
sudut yang tepat harus dipilih dari berbagai kemungkinan yang ada. Satu metode
yang dapat digunakan untuk menetukan pilihan ini adalah memeilih sebuah sudut
yang sinus dan kosinusnya mempunyai tanda yang bersesuaian dengan nilai a dan
b dalam persamaan [6] dan [7]. Sebagai contoh, mari kita konversikan
V = 4 – j3
ke dalam bentuk eksponensialnya. Amplitudonya adalah,
C 42 (3)2 5
dan sudutnya adalah
= tan-1
4
1
[10]
Sebuah nilai harus dipilih sedemikian rupa sehingga menghasilkan nilai cosinus
positif karena 4 = 5 cos , dan nilai sinus negatif karena -3 = 5 sin . Oleh
karenanya kita akan memperoleh = -36,9 ; -396,9 ; dan seterusnya. Semua
nilai ini benar, akan tetapi biasanya kita memilih salah satu yang paling
sederhana, yang dalam hal ini adalah -36,9 . Harus kita perhatikan bahwa solusi
alternatif untuk persamaan [10], yaitu = 143,1 , adalah salah atau tidak tepat,
karena cos negatif sedangkan sin positif.
Metode yang lebih mudah untuk memilih nilai sudut yang benar adalah
merepresentasikan bilangan kompleks secara grafis dalam bidang kompleks.
Sebagai langkah pertama, marilah kita pilih sebuah bilangan kompleks yang
diberikan dalam bentuk rectangular yaitu A = a + jb, yang terletak pada kuadran
pertama bidang kompleks sebagaimana diilustrasikan oleh Gambar 5.3. Jika kita
tarik sebuah garis lurus dari titik pusat bidang datar ke arah titik yang
merepresentasikan bilangan kompleks, kita akan memiliki konstruksi sebuah
segitiga yang panjang sisi miringnya merupakan amplitudo dari representasi
139
eksponensial bilangan kompleks. Dengan kata lain, C a2 b2 . Lebih jauh,
sudut dalam arah pergerakan yang berlawanan dengan jarum jam yang dibentuk
oleh garis terhadap sumbu riil positif merupakan sudut dari representasi
eksponensial bilangan kompleks karena a = C cos dan b = C sin . Sekarang
jika diberikan bentuk rektangular dari sebuah bilangan kompleks yang terletak
dalam kuadran yang lain, misalnya V = 4 – j3, seperti yang digambarkan oleh
Gambar 5.4, maka sudut yang benar secara grafis tampak dengan jelas sebagai –
36,9 atau 323,1 .
Gambar 5.3
C a2 b2
Sebuah bilangan kompleks dapat direpresentasikan oleh sebuah titik pada bidang kompleks
dengan memilih komponen-komponen riil dan imajiner yang benar dari bentuk rektangularnya,
atau dengan memilih amplitudo dan sudut yang tepat dari bentuk eksponensialnya.
Gambar 5.4
Bilangan kompleks V = 4 – j3 = 5e-j36,9 yang direpresenasikan pada sebuah bidang kompleks
Jika bentuk rektangular bilangan kompleks memiliki komponen riil negatif
maka pada umumnya akan lebih mudah bagi kita untuk bekerja dengan negatif
140
dari bilangan kompleks demi menghindari sudut-sudut magnitudo lebih besar
daripada 90 . Sebagai contoh, jika diberikan bilangan kompleks
I = -5 + j2
maka kita tuliskan
I = -(5 – j2)
dan kemudian kita transformasikan (5 – j2) menjadi bentuk eksponensialnya :
I = Ce j
di mana
C 29 5,39 dan 21,8
5
tan 1 2
Kita oleh karenanya akan memiliki
I = – 5,39 e j 21,8
Tanda negatif dapat dihilangkan dari kompleks dengan menambah atau
mengurangi sudutnya sebesar 180 . Jadi, hasil yang diperoleh dapat dinyatakan
dalam bentuk eksponensial sebagai,
I = 5,39 e j158,2 atau I = 5,39 ei 201,8
Berikut ini diberikan satu catatan terakhir mengenai representasi
eksponensial dari sebuah bilangan kompleks. Dua buah bilangan kompleks, yang
semuanya ditulis dalam bentuk eksponensial, disebut sama jika dan hanya jika
amplitude-amplitudonya sama dan sudut-sudutnya ekivalen. Sudut-sudut yang
ekivalen adalah sudut-sudut yang berbeda dengan kelipatan 360 . Sebagai contoh,
jika A = Ce j dan B = De j maka jika A = B dipersyaratkan bahwa C = D dan
(360 )n , di mana n = 0, 1, 2, 3, …
4 | Bentuk Polar
Bentuk yang ketiga (dan sekaligus merupakan bentuk yang terakhir) untuk
merepresentasikan suatu bilangan kompleks pada dasarnya sama dengan bentuk
eksponensial, tetapi dengan perbedaan kecil dalam simbolisasinya.
141
Kita menggunakan sebuah tanda sudut ( ) untuk menggantikan
kombinasi ej. Jadi, representasi eksponensial dari sebuah bilangan kompleks A,
A = Ce j
dapat ditulis dengan lebih singkat sebagai,
A = C
Bilangan kompleks ini sekarang dikatakan berada dalam bentuk polar, sebuah
nama yang menyiratkan representasi sebuah titik pada sebuah bidang (kompleks)
melalui penggunaan koordinat polar.
Jelas bahwa transformasi bentuk rektangular menjadi bentuk polar atau
dari bentuk polar ke bentuk rektangular pada dasarnya sama dengan trasnformasi
antara bentuk rektangular dan bentuk eksponensial. Relasi yang sama muncul
antara C, , a, dan b.
Bilangan kompleks,
A = -2 + j5
dengan demikian dapat dituliskan dalam bentuk eksponensial sebagai,
A = 5,39ej111,8
dan dalam bentuk polar sebagai,
A = -5,39 111,8
Untuk mengapresiasi penggunaan bentuk eksponensial dan polar, mari kita tinjau
perkalian dan pembagian dua buah bilangan kompleks yang direpresentasikan
dalam bentuk eksponensial atau polar. Jika diberikan bahwa,
A = 5 53,1 dan A = 15 -36,9
maka ungkapkan dari kedua buah bilangan kompleks ini dalam bentuk
eksponensial, yaitu,
A 5e j53,1 dan A = 15e j36,9
akan memungkinkan kita untuk menuliskan hasil perkaliannya sebagai sebuah
bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial yang amplitudonya merupakan
perkalian amplitudo-amplitudo kedua buah bilangan kompleks dan sudutnya
merupakan jumlah aljabar dari kedua sudut bilangan kompleks yang dikalikan,
142
sesuai dengan ketentuan-ketentuan umum untuk mengalikan dua buah kuantitas
eksponensial. Jadi,
( )( ) (5)(15) (53,1 36,9 ) A B e j
atau
AB 75e j16,2 75 16,2
Dari definisi bentuk polar, jelas bahwa
0,333
B
A 90
Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dengan mudah
dilakukan dengan merepresentasikan bilangan kompleks dalam bentuk
rektangular, dan penjumlahan atau pengurangan bilangan kompleks yang
diberikan dalam bentuk ekponensial atau polar haruslah dimulai dengan
mengkonversikan kedua buah bilangan kompleks menjadi bentuk rektangular.
Situasi yang berkebalikan berlaku untuk perkalian dan pembagian : dua buah
bilangan kompleks yang diberikan dalam bentuk rektangular harus
ditransformasikan ke bentuk polar terlebih dahulu, kecuali jika bilanganbilangannya
merupakan bilangan bulat yang kecil. Sebagai contoh, jika kita
berkeinginan mengalikan (1 – j3) dengan (2 + j1) akan lebih mudah bagi kita
untuk mengalikan keduanya secara langsung sebagaimana adanya untuk
memperoleh hasil (5 – j5). Jika bilangan-bilangannya dapat dikalikan dalam
pikiran, maka waktu yang akan diperlukan untuk mentrasnformasikan ke dalam
bentuk polar akan dapat dihemat.
Sekarang kita seharusnya telah familiar dengan ketiga bentuk bilangan
kompleks yang berbeda tersebut serta bagaimana mengkonversikannya dari satu
bentuk ke bentuk yang lain. Relasi diantara ketiga bentuk ini dapat dirangkum
dalam persamaan yang cukup panjang berikut ini,
2 2 tan 1 ( / ) a jb Re[ ] j Im[ ] Ce j a b e j b a A A A
a2 b2 tan-1(b/a)
Hampir semua proses konversi dari satu bentuk bilangan kompleks ke
dalam bentuk lainnya dapat dilakukan secara cepat dengan menggunakan bantuan
143
kalkulator, dan ada banyak sekali kalkulator yang dilengkapi dengan fasilitas
untuk menyelesaikan persamaa-persamaan linier dengan bilangan-bilangan
kompleks.
Kita akan menyadari bahwa bilangan-bilangan kompleks merupakan
perangkat matematika yang ampuh yang dapat memudahkan kita dalam
melakukan analisis terhadap berbagai macam situasi fisika.
5.3 Penutup
SOAL – SOAL LATIHAN
1.Misalkan A = -4 + j5, B = 3 – j2, dan C = -4 – j5 maka carilah (a) C – B; (b) 2A
– 3B + 5C; (c) j2C2(A + B); (d) B Re [A] + A Re [B]
2. Dengan menggunakan nilai-nilai yang sama untuk A, B dan C seperti soal
sebelumnya, carilah (a) [(A – A*)(B + B*)*]*; (b) (1/C) – (1/B)*;
(c) (B + C)/(2BC).
3.Gunakanlah persamaan [1] sampai [4] untuk mengevaluasi (a) e-j1; (b) e1-j1;
cos (-j1); (d) sin(-j1)
4. Nyatakanlah masing-masing bilangan kompleks berikut dalam bentuk
eksponensialnya dengan menggunakan sudut-sudut yang berada dalam rentang
– 180oθ 180o .(a) -18,5 – j26; (b) 17,9 – j12,2; (c) -21,6 + j31,2
5. Nyatakanlah hasil-hasil dari manipulasi bilangan kompleks ini dalam bentuk
polarnya. 50/(2,87 83,6o + 5,16 63,2o )
